Question

19．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$（n≥2），則a₃=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通過對(duì)a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$（n≥2）兩邊同時(shí)取倒數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}，代入計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，a_n=$\frac{1}{n}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．