Question

19．設(shè)n=$\int_0^{\frac{π}{2}}{\;}$6sinxdx，則二項(xiàng)式${（x-\frac{2}{x^2}）^n}$展開式中，x^-3項(xiàng)的系數(shù)為-160．

Answer 1

分析 n=$\int_0^{\frac{π}{2}}{\;}$6sinxdx=-6cos$x{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=6．再利用二項(xiàng)式$（x-\frac{2}{{x}^{2}}）^{6}$展開式中展開式中的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：n=$\int_0^{\frac{π}{2}}{\;}$6sinxdx=-6cos$x{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=6．
則二項(xiàng)式$（x-\frac{2}{{x}^{2}}）^{6}$展開式中的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{6}^{r}$x^6-3r，
令6-3r=-3，解得r=3．
x^-3項(xiàng)的系數(shù)為$（-2）^{3}{∁}_{6}^{3}$=-160．
故答案為：-160．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微積分基本定理、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．