Question

為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行抽樣檢查，測得身高情況的頻率分布直方圖如下：

已知樣本中身高在[150，155）cm的女生有1人．
（Ⅰ）求出樣本中該校男生的人數(shù)和女生的人數(shù)；
（Ⅱ）估計該校學生身高在170～190cm之間的概率；
（Ⅲ）從樣本中身高在185～190cm之間的男生和樣本中身高在170～180cm之間的女生中隨機抽取3人，記被抽取的3人中的女生人數(shù)為X．求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設女生人數(shù)為n人，由頻率分布直方圖得

1

n

=

1

150

×5，由此能求出樣本中該校男生的人數(shù)和女生的人數(shù)．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，得到樣本中學生身高在170～190cm之間的頻率，由此能估計該樣學生身高在170～190cm之間的概率．
（Ⅲ）由頻率分布直方圖，得樣本中身高在185～190cm之間的男生有2人，樣本中身高在170～180cm之間的女生有4人，X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）設女生人數(shù)為n人，
樣本中身高在[150，155）cm的女生有1人，所占頻率為

1

150

×5，
∴由頻率分布直方圖，得

1

n

=

1

150

×5，解得n=30，
∵抽取的樣本人數(shù)700×10%=70，
∴樣本中該校男生40人，女生30人．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，
得到樣本中身高在170～190cm之間的學生人數(shù)有37人，
樣本容量為70，
∴樣本中學生身高在170～190cm之間的頻率為

37

70

，
∴估計該樣學生身高在170～190cm之間的概率為

37

70

．
（Ⅲ）由頻率分布直方圖，得樣本中身高在185～190cm之間的男生有2人，
樣本中身高在170～180cm之間的女生有4人，
∴X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（X=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（X=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴EX=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．

點評：本題考查古典概型以及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應用意識．