Question

20．（I）已知a+b+c=1，證明（a+1）²+（b+1）²+（c+1）²≥$\frac{16}{3}$；
（Ⅱ）若對任總實數(shù)x，不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用柯西不等式，即可證明；
（Ⅱ）分：①a=$\frac{1}{2}$、②a＞$\frac{1}{2}$、③a＜$\frac{1}{2}$三種情況，分別化簡不等式，根據(jù)函數(shù)y=|2x-1|+|x-a|的最小值大于或等于2，求得a的范圍．

解答 （I）證明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）²+（b+1）²+（c+1）²]≥（a+1+b+1+c+1）²，
∵a+b+c=1，∴（a+1）²+（b+1）²+（c+1）²≥$\frac{16}{3}$；
（Ⅱ）解：①當a=$\frac{1}{2}$時，不等式即|x-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{2}{3}$，顯然不能任意實數(shù)x均成立．
②當a＞$\frac{1}{2}$時，|2x-1|+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a-1，x≥a}\\{x+a-1，\frac{1}{2}＜x＜a}\\{-3x+a+1，x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，此時，根據(jù)函數(shù)y=|2x-1|+|x-a|的單調(diào)性可得y的最小值為-3×$\frac{1}{2}$+a+1．
∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2對任意實數(shù)x均成立，
∴-3×$\frac{1}{2}$+a+1≥2，解得 a≥$\frac{5}{2}$．
③當a＜$\frac{1}{2}$時，|2x-1|+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a-1，x≥\frac{1}{2}}\\{-x-a+1，a＜x＜\frac{1}{2}}\\{-3x+a+1，x≤a}\end{array}\right.$，
此時，根據(jù)函數(shù)y=|2x-1|+|x-a|的單調(diào)性可得y的最小值為-$\frac{1}{2}$-a+1．
∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2對任意實數(shù)x均成立，
∴-$\frac{1}{2}$-a+1≥2，解得 a≤-$\frac{3}{2}$．
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．