Question

8．下表是某校高三一次月考5個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)、物理的平均成績(jī)：

班級(jí)	1	2	3	4	5
數(shù)學(xué)（x分）	111	113	119	125	127
物理（y分）	92	93	96	99	100

（Ⅰ）一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求兩個(gè)變量x，y的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）從以上5個(gè)班級(jí)中任選兩個(gè)參加某項(xiàng)活動(dòng)，設(shè)選出的兩個(gè)班級(jí)中數(shù)學(xué)平均分在115分以上的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出回歸系數(shù)，即可求兩個(gè)變量x，y的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0，1，2．求出相應(yīng)概率，即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\overline x=119$，$\overline y=96$$\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）=100$，$\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}=200$，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=0.5$，$a=\overline y-b\overline x=36.5$，
故所求的回歸直線方程為y=0.5x+36.5．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0，1，2．
$P（{X=0}）=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，$P（{X=1}）=\frac{C_2^1C_3^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}$，$P（{X=2}）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$，
所以，X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

$EX=\frac{1}{10}×0+\frac{6}{10}×1$$+\frac{3}{10}×2=\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查回歸方程，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．