Question

13．二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=2x+m，若對(duì)任意的x∈[-1，1]，f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=1，解得：c=1，由 f（x+1）-f（x）=2x．利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）不等式 f（x）＞2x+m，化為x²-3x+1-m＞0．設(shè) h（x）=x²-3x+1-m，對(duì)稱軸為 x=$\frac{3}{2}$，判斷h（x）在[-1，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)．然后最后求解即可．

解答 解：（1）設(shè)為f（x）=ax²+bx+c，
由題可知：f（0）=1，解得：c=1，
由 f（x+1）-f（x）=2x．可知：[a（x+1）²+b（x+1）+1]-（ax²+bx+1）=2x
化簡(jiǎn)得：2ax+a+b=2x，
所以：a=1，b=-1．∴f（x）=x²-x+1．
（2）不等式 f（x）＞2x+m，可化簡(jiǎn)為 x²-x+1＞2x+m
即：x²-3x+1-m＞0．
設(shè)h（x）=x²-3x+1-m，則其對(duì)稱軸為 x=$\frac{3}{2}$，∴h（x）在[-1，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
因此只需h（x）的最小值大于零即可，∴g（1）＞0．
代入得：1-3+1-m＞0解得：m＜-1
所以實(shí)數(shù) m的取值范圍是：m＜-1（備注：此題分離參數(shù)也可）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．