Question

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線

x2

a2

-y2=1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則

OP

•

FP

的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)P（m，n ），則

m2

3

-n2=1，m≥

3

，利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡

OP

•

FP

的 解析式為

4

3

m²+2m-1，據(jù)

OP

•

FP

 在[

3

，+∞）上是增函數(shù)，求出其值域．

解答：解：由題意可得 c=2，b=1，故 a=

3

．設(shè)P（m，n ），則

m2

3

-n2=1，m≥

3

．

OP

•

FP

=（m，n ）•（m+2，n）=m²+2m+n²=m2 + 2m + 

m2

3

 - 1=

4

3

m²+2m-1 關(guān)于
m=-

3

4

對稱，故

OP

•

FP

 在[

3

，+∞）上是增函數(shù)，當 m=

3

時有最小值為 3+2

3

，無最大值，
故

OP

•

FP

的取值范圍為 [3+2

3

，+∞)，
故答案為：[3+2

3

，+∞)．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，兩個向量的數(shù)量積公式，化簡

OP

•

FP

的 解析式，
是解題的關(guān)鍵，并注意m的取值范圍．