若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則
OP
•
FP
的取值范圍為
 
．
分析：設(shè)P（m，n ），則
m2
3
-n2=1，m≥
3
，利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡
OP
•
FP
的 解析式為
4
3
m2+2m-1，據(jù)
OP
•
FP
 在[
3
，+∞）上是增函數(shù)，求出其值域．
解答：解：由題意可得 c=2，b=1，故 a=
3
．設(shè)P（m，n ），則
m2
3
-n2=1，m≥
3
．
OP
•
FP
=（m，n ）•（m+2，n）=m2+2m+n2=m2 + 2m + 
m2
3
 - 1=
4
3
m2+2m-1 關(guān)于
m=-
3
4
對稱，故
OP
•
FP
 在[
3
，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng) m=
3
時有最小值為 3+2
3
，無最大值，
故
OP
•
FP
的取值范圍為 [3+2
3
，+∞)，
故答案為：[3+2
3
，+∞)．
點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個向量的數(shù)量積公式，化簡
OP
•
FP
的 解析式，
是解題的關(guān)鍵，并注意m的取值范圍．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則
OP
•
FP
的取值范圍為（　　）
A、[3-2
3
，+∞)
B、[3+2
3
，+∞)
C、[-
7
4
，+∞)
D、[
7
4
，+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的一點，并且P點與右焦點F′的連線垂直x軸，則線段OP的長為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則
OP
•
FP
的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年江蘇省蘇州市吳江市第二高級中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷3（理科）（解析版） 題型：填空題

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為    ．

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