Question

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線

x2

a2

-y2=1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則

OP

•

FP

的取值范圍為（　　）

• A、[3-2

  3

  ，+∞)
• B、[3+2

  3

  ，+∞)
• C、[-

  7

  4

  ，+∞)
• D、[

  7

  4

  ，+∞)

Answer 1

分析：先根據雙曲線的焦點和方程中的b求得a，則雙曲線的方程可得，設出點P，代入雙曲線方程求得y₀的表達式，根據P，F(xiàn)，O的坐標表示出

OP

和

FP

，進而求得

OP

•

FP

的表達式，利用二次函數的性質求得其最小值，則

OP

•

FP

的取值范圍可得．

解答：解：因為F（-2，0）是已知雙曲線的左焦點，
所以a²+1=4，即a²=3，所以雙曲線方程為

x2

3

-y2=1，
設點P（x₀，y₀），
則有

x02

3

-y02=1(x0≥

3

)，解得y02=

x02

3

-1(x0≥

3

)，
因為

FP

=(x0+2，y0)，

OP

=(x0，y0)，
所以

OP

•

FP

=x0(x0+2)+y02=x₀（x₀+2）+

x02

3

-1=

4x02

3

+2x0-1，
此二次函數對應的拋物線的對稱軸為x0=-

3

4

，
因為x0≥

3

，
所以當x0=

3

時，

OP

•

FP

取得最小值

4

3

×3+2

3

-1=3+2

3

，
故

OP

•

FP

的取值范圍是[3+2

3

，+∞)，
故選B．

點評：本題考查待定系數法求雙曲線方程，考查平面向量的數量積的坐標運算、二次函數的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程度以及知識的綜合應用能力、運算能力．