Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+cx（a≠0，a∈R，c∈R），當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值﹣2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（3）若對(duì)任意x1、x2∈[﹣1，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t恒成立，求實(shí)數(shù)t的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得：f′（x）=3ax2+c

又當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值﹣2，

∴ ，即 ，解得

∴f（x）=x3﹣3x．

（2）解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=±1，

當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＜﹣1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）；遞減區(qū)間為（﹣1，1）．

因此，f（x）在x=﹣1處取得極大值，且極大值為f（﹣1）=2

（3）解：由（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，

且f（x）在區(qū)間上的最大值為M=f（﹣1）=2．最小值為m=f（1）=﹣2．

∴對(duì)任意x1、x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=4成立．

故t≥4，t的最小值為4

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，c的方程組，解出a，c的值即可；（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可；（3）求出f（x）在[﹣1，1]的最大值和最小值，]，從而求出|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，得到t的最小值即可
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．