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5.在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊,1+tanCtanB=2a
(])求角C的大小;
(2)若cos(B+\frac{π}{6})=\frac{1}{3},求sinA的值;
(3)若(a+b)2-c2=4,求3a+b的最小值.

分析 (1)利用正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式,整理可得sinA=2sinAcosC,由sinA≠0,解得cosC=\frac{1}{2}.即可解得C的值.
(2)由B∈(0,\frac{2π}{3}),B+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\frac{5π}{6}),利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin(B+\frac{π}{6}),利用三角形內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求sinA的值.
(3)由(a+b)2-c2=4,整理可得:a2+b2-c2=4-2ab,由余弦定理可得a2+b2-c2=ab,從而解得ab=\frac{4}{3},利用基本不等式即可得解.

解答 解:(1)∵1+\frac{tanC}{tanB}=\frac{2a}
∴利用正弦定理,整理可得:\frac{sinCcosB}{cosCsinB}=\frac{2a-b}=\frac{2sinA-sinB}{sinB},
∵sinB≠0,可得:sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC,可得:sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA=2sinAcosC,
∵sinA≠0,
∴解得:cosC=\frac{1}{2}.可得:C=\frac{π}{3}
(2)∵cos(B+\frac{π}{6})=\frac{1}{3},由(1)可得C=\frac{π}{3},
∵B∈(0,\frac{2π}{3}),B+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6}\frac{5π}{6}),
∴可求sin(B+\frac{π}{6})=\frac{2\sqrt{2}}{3},
∴sinA=sin(B+C)=sin(B+\frac{π}{3})=sin[(B+\frac{π}{6})+\frac{π}{6}]=\frac{\sqrt{3}}{2}sin(B+\frac{π}{6})+\frac{1}{2}cos(B+\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{6}+1}{6}
(3)∵(a+b)2-c2=4,整理可得:a2+b2-c2=4-2ab,
又∵cosC=\frac{1}{2},由余弦定理可得:\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab},解得:a2+b2-c2=ab,
∴4-2ab=ab,解得ab=\frac{4}{3},
∴3a+b≥2\sqrt{3ab}=2\sqrt{3×\frac{4}{3}}=4,當(dāng)且僅當(dāng)3a=b等號(hào)成立.
故3a+b的最小值為4.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,三角形內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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