Question

8．函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，得到一階導(dǎo)函數(shù)有極大值點(diǎn)，根據(jù)f′（x）的單調(diào)性，只要$f'（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}-1＞0$，解出即可．

解答 解：∵f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x+1，（x＞0），
∴f′（x）=lnx-ax，$f''（x）=\frac{1}{x}-a=0$，
得一階導(dǎo)函數(shù)有極大值點(diǎn)x=$\frac{1}{a}$，
由于f′（0）→-∞，x→+∞時(shí)，f′（x）→-∞，
因此原函數(shù)要有兩個(gè)極值點(diǎn)，
只要$f'（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}-1＞0$
解得$0＜a＜\frac{1}{e}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．