Question

17．已知點(diǎn)F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的直線l與圓x²+y²=a²相切，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系，建立方程關(guān)系，求出a，b的關(guān)系進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：圓的半徑為a，過(guò)點(diǎn)F且斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴tan∠AFO=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵OC=c，
∴BF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=b，
則tan∠AFO=$\frac{OB}{BF}=\frac{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
則b=$\sqrt{3}a$，
平方得b²=3a²=c²-a²，
即c²=4a²，
即c=2a，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．