Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且|MN|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l為拋物線C有且只有一個公共點，且l∥MN，點P在直線l上運動，求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值，并判斷此時點P與以MN為直徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）過點F且斜率為1的直線代入拋物線，利用|MN|=8，可得y₁+y₂+p=8，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入y²=4x，利用直線l為拋物線C的切線，求出b，再利用向量的數(shù)量積公式求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$，利用配方法可求最小值；求出圓的方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題可知F（0，$\frac{p}{2}$），則該直線方程為：y=x+$\frac{p}{2}$，…（1分）
代入x²=2py（p＞0）得：x²-2px-p²=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁+x₂=2p…（3分）
∵|MN|=8，∴y₁+y₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴拋物線的方程為：x²=4y．…（5分）
（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入x²=4y，得x²-4x-4b=0，
∵l為拋物線C的切線，∴△=0，
解得b=-1，∴l(xiāng)：y=x-1…（7分）
由（1）可知：x₁+x₂=4，x₁x₂=-4
設(shè)P（m，m-1），則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（x₁-m，y₁-m+1）•（x₂-m，y₂-m+1）=（x₁-m）（x₂-m）+（x₁-m+2）（x₂-m+2）
=2x₁x₂+（2-2m）（x₁+x₂）+（2-m）²=（m-6）²-32，
∴m=6時，即點P的坐標(biāo)為（6，5）時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值為-32．
以MN為直徑的圓的方程為（x-2）²+（y-3）=²16，故P在圓上…（12分）

點評 本題考查拋物線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，韋達定理的運用，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．