Question

19．已知△ABC外接圓半徑是2，$BC=2\sqrt{3}$，則△ABC的面積最大值為$3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可求sinA的值，結(jié)合A的范圍可求A，分類討論，利用余弦定理可求AB•AC的最大值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵△ABC外接圓半徑是2，$BC=2\sqrt{3}$，
∴由正弦定理$\frac{BC}{sinA}=2R$，可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sinA}$=2×2，解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時，由余弦定理可得：
12=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=AB²+AC²-AB•AC≥AB•AC，
此時S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA≤$\frac{1}{2}×12×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
當(dāng)A=$\frac{2π}{3}$時，由余弦定理可得：12=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=AB²+AC²+AB•AC≥3AB•AC，
解得：4≥AB•AC，此時S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面積最大值為3$\sqrt{3}$．
故答案為：$3\sqrt{3}$．

點評 本題考查了有關(guān)三角形以及外接圓問題，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題．