Question

8．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的x、y∈R，都有f（x）f（y）=2f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）＞0對(duì)任意x∈R恒成立；
（3）解關(guān)于θ的不等式f（tanθ）≤2．

Answer 1

分析 （1）令x=1，y=0，從而可求得f（0）=2；
（2）由題意知當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥2＞0；再令x＜0，則-x＞0；從而可得f（x）f（-x）=2f（0）；從而證明．
（3）由（2）中的討論可知f（tanθ）≤2可化為f（tanθ）≤f（0），即tanθ≤0；從而解得．

解答 解：（1）令x=1，y=0，
則f（1）f（0）=2f（1），
∵f（1）＞2，
∴f（0）=2；
（2）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥2＞0；
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0；
f（x）f（-x）=2f（0）；
故f（x）=$\frac{2f（0）}{f（-x）}$＞0；
故f（x）＞0對(duì)任意x∈R恒成立；
（3）∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥2＞0；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$\frac{2f（0）}{f（-x）}$=$\frac{4}{f（-x）}$＜2；
∴f（tanθ）≤2可化為f（tanθ）≤f（0）；
故tanθ≤0；
故θ∈（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+π]，（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．