Question

【題目】已知f（x）＝ax+ka﹣x（a＞0且a≠1）是R上的奇函數(shù)，且f（1）．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若關(guān)于x的方程f（1）+f（1﹣3mx﹣2）＝0在區(qū)間[0，1]內(nèi)只有一個解，求m取值集合；

（3）是否存在正整數(shù)n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）對一切x∈[﹣1，1]均成立？若存在，求出所有n的值若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝3x﹣3﹣x（2）（﹣∞，2]∪{4}（3）存在正整數(shù)n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）對一切x∈[﹣1，1]均成立，且n的值為1，2，3

【解析】

（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)及f（1）列出方程組，解方程組即可得到函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性脫去符號，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布求解；
（3）分離得，由，得到的范圍，由此得出結(jié)論．的范圍

（1）由題意，，解得，

∴f（x）＝3x﹣3﹣x；

（2）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）＝3x﹣3﹣x為R上的增函數(shù)，故方程f（91）+f（1﹣3mx﹣2）＝0即為，即

故g（x）＝2mx2﹣（4+m）x+2＝0在區(qū)間[0，1]內(nèi)只有一個解，

①當m＝0時，，符合題意；

②當m≠0時，由g（0）＝2＞0，故只需g（1）＝2m﹣4﹣m+2≤0，則m≤2且m≠0；

③當△＝（4+m）2﹣16m＝0時，m＝4，此時，符合題意；

綜上，實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，2]∪{4}；

（3）f（2x）≥（n﹣1）f（x）即為，

∵3x+3﹣x≥2，當且即當“x＝0”時取等號，

∴n﹣1≤2，即n≤3，

∴存在正整數(shù)n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）對一切x∈[﹣1，1]均成立，且n的值為1，2，3．