【題目】在四棱錐中,平面平面,平面平面.

(Ⅰ)證明:平面;

(Ⅱ)若底面為矩形,,的中點(diǎn),,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ).

【解析】

試題(Ⅰ)由題意平面,得到所以,同理可證,利用線面垂直的判定定理,即可證得平面;

(Ⅱ)分別以、、所在方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,求得向量和平面的一個(gè)法向量為,利用向量的夾角公式,即可求解直線與平面所成的角的正弦值.

試題解析:

(Ⅰ)證法1:在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作兩條直線,,

使得,.

因?yàn)?/span>,所以為兩條相交直線.

因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,平面,,所以平面.所以.同理可證.又因?yàn)?/span>平面平面,,所以平面.

證法2:在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn),在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn).

因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面平面,,所以平面.同理可證平面.而過(guò)點(diǎn)作平面的垂線有且僅有一條,所以重合.所以平面.所以,直線為平面與平面的交線.所以,直線與直線重合.所以平面.

(Ⅱ)如圖,分別以、、所在方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,,,.

的中點(diǎn),得;由,得.所以,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,即.取,則.所以.

所以 .

所以,直線與平面所成角的正弦值為.

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小時(shí)以?xún)?nèi)(含小時(shí))為健康時(shí)間,玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的累積經(jīng)驗(yàn)值(單位:)與游戲時(shí)間(小時(shí))滿足關(guān)系式:為常數(shù));

小時(shí)到小時(shí)(含小時(shí))為疲勞時(shí)間,玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的經(jīng)驗(yàn)值為(即累積經(jīng)驗(yàn)值不變);

③超過(guò)小時(shí)為不健康時(shí)間,累積經(jīng)驗(yàn)值開(kāi)始損失,損失的經(jīng)驗(yàn)值與不健康時(shí)間成正比例關(guān)系,比例系數(shù)為.

1)當(dāng)時(shí),寫(xiě)出累積經(jīng)驗(yàn)值與游戲時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,并求出游戲小時(shí)的累積經(jīng)驗(yàn)值;

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