Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在x=2處的切線l與直線x+2y-3=0平行．記函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）令h（x）=g（x）+2x，若h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若b≥$\frac{3}{2}$，且g（x₁）-g（x₂）≥k恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于b的不等式組，解出即可；
（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值之間的關(guān)系即可證明不等式．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵函數(shù)在x=2處的切線l與直線x+2y-3=0平行，
∴k=$\frac{1}{2}$-a=-$\frac{1}{2}$，
解得a=1；     
（2）∵g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（b-1）x，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{2}-（b-1）x+1}{x}$，
由題意得：g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，設(shè)u（x）=x²-（b-1）x+1，則u（0）=1＞0，
只需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{2}＞0}\\{△{=（b-1）}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得：b＞3；
（3）∵g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（b+1）x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（b+1）=$\frac{{x}^{2}-（b+1）x+1}{x}$，
由g′（x）=0得x²-（b+1）x+1=0
∴x₁+x₂=b+1，x₁x₂=1，
∴x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∵b≥$\frac{3}{2}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}≥\frac{5}{2}}\\{0{＜x}_{1}＜\frac{1}{{x}_{1}}}\end{array}\right.$，解得：0＜x₁≤$\frac{1}{2}$，
∴g（x₁）-g（x₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{2}$（x₁²-x₂²）-（b+1）（x₁-x₂）=2lnx₁-$\frac{1}{2}$（x₁²-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$），
設(shè)F（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$）（0＜x≤$\frac{1}{2}$），
則F′（x）=$\frac{2}{x}$-x-$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{{-{（x}^{2}-1）}^{2}}{{x}^{3}}$＜0
∴F（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減； 
∴當(dāng)x₁=$\frac{1}{2}$時(shí)，F(xiàn)（x）_min=F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{15}{8}$-2ln2，
∴k≤$\frac{15}{8}$-2ln2，
∴k的最大值為$\frac{15}{8}$-2ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間是關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．