【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,若,則稱是“數(shù)列”.
(1)若是“數(shù)列”,且,,,,求的取值范圍;
(2)若是等差數(shù)列,首項為,公差為,且,判斷是否為“數(shù)列”;
(3)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,若數(shù)列與都是“數(shù)列”,求的取值范圍.
【答案】(1); (2)見解析; (3).
【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列的新定義,列出不等式組且,,即可求解;
(2)由等差數(shù)列,得到,進(jìn)而得出,再由的單調(diào)性,得到,即可得到結(jié)論;
(3)設(shè)等比數(shù)列的公比為,分和時,結(jié)合數(shù)列的新定義,即可作差判定.
(1)由題意,數(shù)列滿足,稱是“數(shù)列”,
又由,,,,可得且,
解得,即的取值范圍是.
(2)由題意,數(shù)列的通項公式為,
則,
又由,可得數(shù)列隨著的增大而減小,
所以當(dāng)時,取得最大值,所以,
所以數(shù)列是“數(shù)列”.
(3)由題意得,等比數(shù)列的公比為,
由數(shù)列是“G的數(shù)列”,可得,即,
①當(dāng)時,所以,則,符合題意,
②當(dāng)時,則,則,
因為數(shù)列是“G的數(shù)列”,所以對恒成立,
(i)當(dāng)時,,
即對恒成立,
因為,
所以,
所以當(dāng)時,對恒成立;
(ii)當(dāng)時,,
即對恒成立,
因為,
所以,解得,
又,所以不存在滿足題意,
綜上可得,數(shù)列的公比的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù),使得成立,則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點,說明理由:
(2)已知向量,,,證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.
(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標(biāo)賽男子團體決賽中,中國隊與韓國隊相遇,中國隊男子選手A,B,C,D,E依次出場比賽,在以往對戰(zhàn)韓國選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8,0.8,0.8,0.75,0.7,并且比賽勝負(fù)相互獨立.賽會釆用5局3勝制,先贏3局者獲得勝利.
(1)在決賽中,中國隊以3∶1獲勝的概率是多少?
(2)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)雙曲線方程為,過其右焦點且斜率不為零的直線與雙曲線交于A,B兩點,直線的方程為,A,B在直線上的射影分別為C,D.
(1)當(dāng)垂直于x軸,時,求四邊形的面積;
(2),的斜率為正實數(shù),A在第一象限,B在第四象限,試比較與1的大;
(3)是否存在實數(shù),使得對滿足題意的任意,直線和直線的交點總在軸上,若存在,求出所有的值和此時直線和交點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析,決定從本班24名女同學(xué),18名男同學(xué)中隨機抽取一個容量為7的樣本進(jìn)行分析.
(1)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個不同的樣本?(寫出算式即可,不必計算出結(jié)果)
(2)如果隨機抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成績(單位:分)對應(yīng)如下表:
學(xué)生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
數(shù)學(xué)成績 | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
物理成績 | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②根據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分,預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/span>
附:線性回歸方程,
其中,.
76 | 83 | 812 | 526 |
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上分別為左、右焦點,橢圓的一個頂點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形,且.
(1)求橢圓方程;
(2)對于x軸上的某一點T,過T作不與坐標(biāo)軸平行的直線L交橢圓于兩點,若存在x軸上的點S,使得對符合條件的L恒有成立,我們稱S為T的一個配對點,當(dāng)T為左焦點時,求T的配對點的坐標(biāo);
(3)在(2)條件下討論當(dāng)T在何處時,存在有配對點?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義符號函數(shù),已知,.
(1)求關(guān)于的表達(dá)式,并求的最小值.
(2)當(dāng)時,函數(shù)在上有唯一零點,求的取值范圍.
(3)已知存在,使得對任意的恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),為實數(shù).
(1)討論在上的奇偶性;(只要寫出結(jié)論,不需要證明)
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱中,底面為菱形,且側(cè)棱 其中為的交點.
(1)求點到平面的距離;
(2)在線段上,是否存在一個點,使得直線與垂直?若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.
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