Question

18．給出下列四個命題，其中錯誤的命題有（　　）個．
（1）函數(shù)y=sin2x+cos2x在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，$\frac{π}{8}$]；
（2）設(shè)隨機(jī)變量X～N（1，σ²），若P（0＜X＜1）=0.4，則P（0＜X＜2）=0.8；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象；
（4）“直線x-ay=0，與直線x+ay=0互相垂直”的充分條件是“a=1”

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 （1）根據(jù)輔助角公式進(jìn)行化簡判斷即可．
（2）利用正態(tài)分布的對稱性進(jìn)行求解．
（3）根據(jù)三角函數(shù)的平移以及三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
（4）根據(jù)直線垂直的等價條件以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）函數(shù)y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
則kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，
當(dāng)k=0時，單調(diào)遞增區(qū)間為為[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴0≤x≤$\frac{π}{8}$；此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，$\frac{π}{8}$]；故（1）正確，
（2）∵隨機(jī)變量X～N（1，σ²），若P（0＜X＜1）=0.4，
∴P（0＜X＜2）=2P（0＜X＜1）=2×0.4=0.8；故（2）正確，
（3）f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位得到y(tǒng)=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x為偶函數(shù)，故（3）正確，
（4）當(dāng)a=1時，兩條直線方程分別為x-y=0和x+y=0，此時兩直線垂直，即a=1是“直線x-ay=0，與直線x+ay=0互相垂直”的充分條件，故（4）正確，
則錯誤的命題為0個，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，正態(tài)分布的性質(zhì)以及想、充分條件和必要條件的判斷，涉及的內(nèi)容較多綜合性較強(qiáng)．