Question

3．已知右焦點(diǎn)為F₂（c，0）的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），且橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）作直線l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為M，點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，求直線MA的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），且橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求出a，b，c，橢圓方程可求；
（2）線l過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）且斜率不為零，故可設(shè)其方程為x=my+$\frac{1}{2}$，和橢圓方程聯(lián)立，把MA的斜率用直線l的斜率表示，由基本不等式求得范圍．

解答 解：（1）∵橢圓C過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，①…（1分）
∵橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴a=2c，…（2分）
∴$^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，②…（3分）
由①②得a=2，b=$\sqrt{3}$，…（4分）
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（5分）
（2）依題意，直線l過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）且斜率不為零，故可設(shè)其方程為x=my+$\frac{1}{2}$…（7分）
聯(lián)立方程組消去x，并整理得4（3m²+4）y²+12my-45=0（6分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則
∴y₁+y₂=-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$，（7分）
∴y₀=-$\frac{3m}{2（3{m}^{2}+4）}$，x₀=$\frac{2}{3{m}^{2}+4}$，
∴k=$\frac{m}{4{m}^{2}+4}$，（9分）
①當(dāng)m=0時(shí)，k=0；（10分）
②當(dāng)m≠0時(shí)，k=$\frac{1}{4m+\frac{4}{m}}$，
∵|4m+$\frac{4}{m}$|=4|m|+$\frac{4}{|m|}$≥8，∴0＜|k|≤$\frac{1}{8}$，∴-$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{1}{8}$且k≠0．（11分）
綜合①②可知直線MA的斜率k的取值范圍是：-$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{1}{8}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線間的關(guān)系，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．