Question

8．已知A₁，A₂，B₁，B₂分別為雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）實(shí)軸與虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P（4，$\sqrt{2}$）為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足k${\;}_{{A}_{1}P}$•k${\;}_{{A}_{2}P}$=$\frac{1}{4}$．
（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（2，2）的直線(xiàn)l與該雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出幾何量a，b，即可求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（2，2）的直線(xiàn)l與該雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，分類(lèi)討論，求直線(xiàn)l的方程．

解答 解：（1）由題意，$\frac{\sqrt{2}}{4+a}•\frac{\sqrt{2}}{4-a}=\frac{1}{4}$，∴a²=8，
∵P（4，$\sqrt{2}$）為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，
∴$\frac{16}{8}-\frac{2}{^{2}}$=1，∴b²=2，
∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由題意可得：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：y=±$\frac{1}{2}$x，
①過(guò)點(diǎn)Q（2，2）平行于漸近線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，
方程為y-2=±$\frac{1}{2}$（x-2），即x-2y+2=0或x+2y-6=0；
②設(shè)過(guò)Q（2，2）的切線(xiàn)方程為y-2=k（x-2）與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，
可得（1-4k²）x²-（16k²-16k）x-4（4k²-8k+6）=0，
利用△=0可得k=$\frac{-1±\sqrt{10}}{2}$，方程為y-2=$\frac{-1±\sqrt{10}}{2}$（x-2）．
故直線(xiàn)l的方程為x-2y+2=0或x+2y-6=0或y-2=$\frac{-1±\sqrt{10}}{2}$（x-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題以雙曲線(xiàn)為載體，主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．突出考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)．