Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，倒棱AA₁⊥平面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC₁，BB₁上的點(diǎn)，且EC=2FB=2．
（Ⅰ）若點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，證明：
（1）MB∥平面AEF；
（2）平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ） （1）取線段AE的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，由三角形中位線定理可得MG=$\frac{1}{2}EC=BF$，又MG∥EC∥BF，可得MBFG是平行四邊形，故MB∥FG，由線面平行的判定可得MB∥平面AEF；
（2）由MB⊥AC，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，可得MB⊥平面ACC₁A₁，進(jìn)一步得到FG⊥平面ACC₁A₁．由面面垂直的判定可得平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）作AD⊥BC于D，則AD⊥平面BEF，由等積法結(jié)合已知求出三棱錐A-BEF的體積得答案．

解答 （Ⅰ）證明：（1）取線段AE的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，
則MG=$\frac{1}{2}EC=BF$，又MG∥EC∥BF，
∴MBFG是平行四邊形，故MB∥FG．
而FG?平面AEF，MB?平面AEF，
∴MB∥平面AEF；
（2）∵M(jìn)B⊥AC，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴MB⊥平面ACC₁A₁，而B(niǎo)M∥FG，
∴FG⊥平面ACC₁A₁．
∵FG?平面AEF，∴平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）解：作AD⊥BC于D，則AD⊥平面BEF，且AD=$\sqrt{3}$．
于是${V}_{A-BEF}=\frac{1}{3}×{S}_{△BEF}×AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故${V}_{B-AEF}={V}_{A-BEF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體的體積，屬中檔題．