Question

設(shè)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的上焦點(diǎn)是F1，過(guò)點(diǎn)P(3,4)和F1作直線PF1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，已知A(，)．

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)C是橢圓E上到直線PF1距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）＋x2＝1 （2）(，－)

【解析】(1)由A(，)和P(3,4)可求直線PF1的方程為y＝x＋1．

令x＝0，得y＝1，即c＝1．

橢圓E的焦點(diǎn)為F1(0,1)，F(xiàn)2(0，－1)，由橢圓的定義可知．

2a＝|AF1|＋|AF2|

＝＋＝2．

∴a＝，b＝1，

所以橢圓E的方程為＋x2＝1．

(2)設(shè)與直線PF1平行的直線l：y＝x＋m．

，消去y得3x2＋2mx＋m2－2＝0，

Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)＝0，

即m2＝3，∴m＝±．

要使點(diǎn)C到直線PF1的距離最遠(yuǎn)，則直線l要在直線PF1的下方，所以m＝－．

此時(shí)直線l與橢圓E的切點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)，故C(，－)即為所求．