Question

若函數(shù)f（x）=

a-x2

|x+1|-1

為奇函數(shù)，則a的取值范圍為

（0，1]

．

Answer 1

分析：f（x）=

a-x2

|x+1|-1

中，a＞0，由y=

a-x2

在定義域內(nèi)是一個(gè)偶函數(shù)，x∈[-

a

，

a

]，知g（x）=|x+1|-1 為奇函數(shù)，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

a-x2

|x+1|-1

中，x≠0，a-x²≥0，
∴a≥x²＞0，
∵y=

a-x2

在定義域內(nèi)是一個(gè)偶函數(shù)，x∈[-

a

，

a

]，
∴要函數(shù)f（x）=

a-x2

|x+1|-1

為奇函數(shù)，則g（x）=|x+1|-1 為奇函數(shù)，
（1）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g（x）=x+1-1=x；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=x+1-1=x；
（3）當(dāng)x＜-1時(shí)，g（x）=-x-1-1=-x-2
所以只有定義域?yàn)閇-1，1]的子區(qū)間，且定義域關(guān)于0對稱時(shí)，g（x）才是奇函數(shù)
所以

a

≤1，即a≤1，
所以0＜a≤1．
故答案為：（0，1]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．