Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若的斜率為，為的中點(diǎn)，且的斜率為，求橢圓的方程；

（2）連結(jié)并延長，交橢圓于點(diǎn)，若橢圓的長半軸長是大于的給定常數(shù)，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得的數(shù)值，結(jié)合以及，求得的值，由此求得橢圓方程.（2）根據(jù)已知得到，設(shè)出的坐標(biāo)和直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理.求得三角形面積的表達(dá)式，利用基本不等式和單調(diào)性，求得面積最大值的表達(dá)式.

（1）設(shè)，則

，，.

由此可得；

因?yàn)?/span>，，，所以

又由左焦點(diǎn)為，故，因此.所以的方程為

（2）因?yàn)闄E圓的半焦距，所以，設(shè)，直線的方程，

由方程組消去得:,

,且恒成立，

連結(jié)，由知，

，

令，則，

①若，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)，；

②若，即，設(shè)，則時(shí)，

在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)，；

綜上可知：