Question

如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證：AC⊥平面BDE；

(2)求二面角F-BE-D的余弦值；

(3)設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．

 

Answer 1

(1)見解析(2) (3) 點M是線段BD上靠近B點的三等分點

【解析】(1)證明　∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDE.

(2)解　DE⊥平面ABCD，

∴∠EBD就是BE與平面ABCD所成的角，即∠EBD＝60°.

∴＝.由AD＝3，得BD＝3，DE＝3，AF＝.

如圖，分別以DA，DC，DE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0，3)，B(3,3,0)，C(0，3,0)．

∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．

設平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)，則即

令z＝，則n＝(4,2，)

∵AC⊥平面BDE，

∴＝(3，－3,0)為平面BDE的一個法向量，

∵cos〈n，〉＝＝＝，

∴結合圖形知二面角F-BE-D的余弦值為.

(3)解　依題意，設M(t，t,0)(0≤t＜3)，則＝(t－3，t,0)，

∵AM∥平面BEF，∴·n＝0，

即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.

∴點M的坐標為(2,2,0)，此時＝，

∴點M是線段BD上靠近B點的三等分點．