如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)設點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
(1)見解析(2) (3) 點M是線段BD上靠近B點的三等分點
【解析】(1)證明 ∵DE⊥平面ABCD,∴DE⊥AC,∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,又DE∩BD=D,
∴AC⊥平面BDE.
(2)解 DE⊥平面ABCD,
∴∠EBD就是BE與平面ABCD所成的角,即∠EBD=60°.
∴=.由AD=3,得BD=3,DE=3,AF=.
如圖,分別以DA,DC,DE所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0).
∴=(0,-3,),=(3,0,-2).
設平面BEF的法向量為n=(x,y,z),則即
令z=,則n=(4,2,)
∵AC⊥平面BDE,
∴=(3,-3,0)為平面BDE的一個法向量,
∵cos〈n,〉===,
∴結(jié)合圖形知二面角F-BE-D的余弦值為.
(3)解 依題意,設M(t,t,0)(0≤t<3),則=(t-3,t,0),
∵AM∥平面BEF,∴·n=0,
即4(t-3)+2t=0,解得t=2.
∴點M的坐標為(2,2,0),此時=,
∴點M是線段BD上靠近B點的三等分點.
科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練4練習卷(解析版) 題型:填空題
若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值為________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習7-2隨機變量及其分布練習卷(解析版) 題型:解答題
由于某高中建設了新校區(qū),為了交通方便要用三輛通勤車從新校區(qū)把教師接到老校區(qū),已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路,汽車走公路①堵車的概率為,不堵車的概率為;汽車走公路②堵車的概率為p,不堵車的概率為1-p,若甲、乙兩輛汽車走公路①,丙汽車由于其他原因走公路②,且三輛車是否堵車相互之間沒有影響.
(1)若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為,求走公路②堵車的概率;
(2)在(1)的條件下,求三輛汽車中被堵車輛的個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習6-2橢圓、雙曲線、拋物線練習卷(解析版) 題型:選擇題
設F是拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點,點A是拋物線與雙曲線C2:=1(a>0,b>0)的一條漸近線的一個公共點,且AF⊥x軸,則雙曲線的離心率為 ( ).
A.2 B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習6-1直線與圓練習卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=1,AB=2,動點P在以點C為圓心,且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動,設=λ+μ (λ,μ∈R),則λ+μ的取值范圍是( ).
A.(1,2) B.(0,3) C.[1,2] D.[1,2)
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習5-2空間向量與立體幾何練習卷(解析版) 題型:選擇題
如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是( ).
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A-BEF的體積為定值
D.異面直線AE,BF所成的角為定值
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習5-1空間幾何體與點等練習卷(解析版) 題型:填空題
如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點,F為線段EC(端點除外)上一動點,現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB,K為垂足.設AK=t,則t的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習4-2數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應用練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a11=( ).
A.1 B.9 C.10 D.55
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習2-1函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)練習卷(解析版) 題型:解答題
某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料,已知該廠每天需要飼料200千克,每千克飼料的價格為1.8元,飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元,購買飼料每次支付運費300元.
(1)求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少;
(2)若提供飼料的公司規(guī)定,當一次購買飼料不少于5噸時,其價格可享受八五折優(yōu)惠(即原價的85%).問:該廠是否應考慮利用此優(yōu)惠條件?請說明理由.
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