Question

5．在sinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$中，B=60°，AC=$\sqrt{3}$，則AB+2BC的最大值為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 法一：設(shè)AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知條件求得a和c的關(guān)系，設(shè)c+2a=m代入，利用判別大于等于0求得m的范圍，則m的最大值可得．
法二：利用正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，根據(jù)三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得AB+2BC=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：法一：設(shè)AB=c AC=b BC=a，
由余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
所以a²+c²-ac=b²=3，
設(shè)c+2a=m，代入上式得：7a²-5am+m²-3=0，
△=84-3m²≥0 故m≤2$\sqrt{7}$，
當(dāng)m=2$\sqrt{7}$時，此時a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$，c=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$符合題意，
因此最大值為2$\sqrt{7}$．
法二：因為B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，
由正弦定理，有$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=2$，
所以AB=2sinC，BC=2sinA．
所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°-A）+4sinA
=2（sin120°cosA-cos120°sinA）+4sinA
=$\sqrt{3}$cosA+5sinA
=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），（其中sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，cosφ=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$）
所以AB+2BC的最大值為2$\sqrt{7}$．
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，涉及了解三角形和函數(shù)思想的運用，屬于中檔題．