Question

15．已知，△ABC兩邊長(zhǎng)分別為4，3，其夾角平分線長(zhǎng)為2，則此三角形面積為$\frac{7\sqrt{95}}{12}$．

Answer 1

分析 設(shè)△ABC，AD是∠A的平分線，AD=2，AB=4，AC=3，根據(jù)角平分定理，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{4}{3}$，設(shè)BD=4m，CD=3m，在△ABD和△ADC中，根據(jù)余弦定理解得：m²=$\frac{5}{4}$-cos$\frac{A}{2}$，（1），m²=$\frac{13}{9}$-$\frac{4}{3}$cos$\frac{A}{2}$，（2）聯(lián)立（1）和（2）式，可得：cos$\frac{A}{2}$=$\frac{7}{12}$，從而可求sinA，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：設(shè)△ABC，AD是∠A的平分線，AD=2，AB=4，AC=3，
根據(jù)角平分定理，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)BD=4m，CD=3m，
在△ABD和△ADC中，根據(jù)余弦定理，
BD²=AB²+AD²-2×AB×AD×cos$\frac{A}{2}$，可得：16m²=16+4-2×4×2cos$\frac{A}{2}$，解得：m²=$\frac{5}{4}$-cos$\frac{A}{2}$，（1）
CD²=AC²+AD²-2×AC×AD×cos$\frac{A}{2}$，可得：9m²=9+4-2×3×2cos$\frac{A}{2}$，解得：m²=$\frac{13}{9}$-$\frac{4}{3}$cos$\frac{A}{2}$，（2）
比較（1）和（2）式，可得：cos$\frac{A}{2}$=$\frac{7}{12}$，
解得：cosA=2（cos$\frac{A}{2}$）²-1=-$\frac{23}{72}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{7\sqrt{95}}{72}$，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC×sinA=$\frac{1}{2}$×4×3×$\frac{7\sqrt{95}}{72}$=$\frac{7\sqrt{95}}{12}$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{95}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了余弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．