Question

3．數列{a_n}滿足${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_{n+1}}=a_n^2-{a_n}+1$，則$T=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$的整數部分是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可知，a_n+1-1=a_n（a_n-1）從而得到$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}}$，通過累加得：m=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2016}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$=2-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$，a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$≥0，a_n+1≥a_n，可得：a₂₀₁₇≥a₂₀₁₆≥a₃≥2，$0＜\frac{1}{{a}_{2017}}＜1$，1＜m＜2，故可求得m的整數部分．

解答 解：由題意可知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴m=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2016}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$═2-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$，
a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$≥0，a_n+1≥a_n，
∴a₂₀₁₇≥a₂₀₁₆≥a₃≥2，
$0＜\frac{1}{{a}_{2017}}＜1$，
1＜m＜2，故可求得m的整數部分1．
故答案選：B．

點評 本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用數列的遞推式．