Question

17．已知復(fù)數(shù)z滿足$z+\overline z=6$，|z|=5．
（1）求復(fù)數(shù)z的虛部；
（2）求復(fù)數(shù)$\frac{z}{1-i}$的實部．

Answer 1

分析 （1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），可得$\overline{z}$=a-bi，利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)的運算法則、實部的定義即可得出．

解答 解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），∴$\overline{z}$=a-bi，
∴$z+\overline z=2a=6$，∴a=3．
∴$|z|=\sqrt{9+{b^2}}=5$⇒b=±4，即復(fù)數(shù)z的虛部為±4．
（2）當(dāng)b=4時，$\frac{z}{1-i}=\frac{3+4i}{1-i}$=$\frac{{（{3+4i}）（{1+i}）}}{2}=\frac{7i-1}{2}$=$-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}i$，其實部為$-\frac{1}{2}$．
當(dāng)b=-4時，$\frac{z}{1-i}=\frac{3-4i}{1-i}$=$\frac{{（{3-4i}）（{1+i}）}}{2}=\frac{7-i}{2}$=$\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$，其實部為$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等、模的計算公式、實部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．