Question

7．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸正半軸重合．直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，-1），傾斜角為45°，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求線段MN的長(zhǎng)和點(diǎn)P到M，N兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，-1），傾斜角為45°，能求出直線l的參數(shù)方程，由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=ρsinθ+ρcosθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，由此能求出線段MN的長(zhǎng)和點(diǎn)P到M，N兩點(diǎn)的距離之積．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，-1），傾斜角為45°，
∴直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴ρ²=ρsinθ+ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程：x²+y²-x-y=0．（6分）
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$代入到：x²+y²-x-y=0．
得${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2}$．（9分）
|PM||PN|=|t₁t₂|=4．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段MN的長(zhǎng)和點(diǎn)P到M，N兩點(diǎn)的距離之積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．