Question

19．已知直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求S_△AOB的最大值；
（2）設(shè)L={|直線l使S_△AOB取最大值}，l₁，l₂，l₃，l₄∈L，其滿足l₁∥l₂，l₃∥l₄，k₁，k₂，k₃，k₄是對(duì)應(yīng)直線的斜率且k₁+k₂+k₃+k₄=0，求這四條直線圍成四邊形面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的方程為：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（a²+m²）y²-2mty+t²-a²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，原點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．可得S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）l₁∥l₂，l₃∥l₄，k₁，k₂，k₃，k₄是對(duì)應(yīng)直線的斜率且k₁+k₂+k₃+k₄=0，可得k₁=k₂，k₃=k₄，k₁+k₃=0，圍成的四邊形是平行四邊形EFGH，則EF=FG，
由對(duì)稱性可得：對(duì)角線FH在y軸上．可得S_{四邊形EFGH}=$\frac{1}{2}$|EG||FH|=$\frac{2{t}^{2}}{|m|}$，由（1）可得a²+m²=2t²，代入再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，化為：（a²+m²）y²-2mty+t²-a²=0，
△=4m²t²-4（a²+m²）（t²-a²）＞0，化為：t²＜a²+m²．
∴y₁+y₂=$\frac{2mt}{{a}^{2}+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}+{m}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2a\sqrt{（1+{m}^{2}）（{a}^{2}+{m}^{2}-{t}^{2}）}}{{a}^{2}+{m}^{2}}$，
原點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=|t|$\frac{a\sqrt{{a}^{2}+{m}^{2}-{t}^{2}}}{{a}^{2}+{m}^{2}}$≤$\frac{a}{{a}^{2}+{m}^{2}}[\frac{{t}^{2}+（{a}^{2}+{m}^{2}-{t}^{2}）}{2}]$=$\frac{a}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a²+m²=2t²時(shí)取等號(hào)．
∴S_△AOB的最大值為$\frac{a}{2}$．
（2）∵l₁∥l₂，l₃∥l₄，k₁，k₂，k₃，k₄是對(duì)應(yīng)直線的斜率且k₁+k₂+k₃+k₄=0，
∴k₁=k₂，k₃=k₄，k₁+k₃=0，
圍成的四邊形是平行四邊形EFGH，則EF=FG，
由對(duì)稱性可得：EH在y軸上．
如圖所示，
由my=x+t，可得E（-t，0），F(xiàn)$（0，-\frac{t}{m}）$．
∴S_{四邊形EFGH}=$\frac{1}{2}$|EG||FH|=$\frac{2{t}^{2}}{|m|}$，
由（1）可得a²+m²=2t²，
∴S_{四邊形EFGH}=$\frac{{a}^{2}+{m}^{2}}{|m|}$=$\frac{{a}^{2}}{|m|}$+|m|≥2a，當(dāng)且僅當(dāng)a²+m²=2t²，|m|=a時(shí)取等號(hào)．
∴這四條直線圍成四邊形面積的最小值是2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、平行線的性質(zhì)、斜率的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、四邊形的面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．