Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC
（1）求角A；
（2）若△ABC為銳角三角形，求sinB+sinC的取值范圍；
（3）若a=3，D是AC邊上的中點(diǎn)，BD=$\sqrt{3}$，求cosB．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦定理求得 sinB的值，可得B的值．
（2）由條件利用兩角和差的正弦公式求得sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．再根據(jù)$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sinB+sinC的取值范圍．
（3）根據(jù)正弦定理和余弦定理建立方程關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosc
∴2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
即cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-（-$\frac{1}{2}$）sinB
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．
再根據(jù)$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，可得 $\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，$\frac{3}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
即sinB+sinC的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
（3）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$，
則b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
則AD=DC=$\sqrt{3}$sinB，
則△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos60°，
則△ACD中，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos60°，
即3=（2$\sqrt{3}$sinC）²+（$\sqrt{3}$sinB）²-2（2$\sqrt{3}$sinC）•$\sqrt{3}$sinB×$\frac{1}{2}$，
9=（2$\sqrt{3}$sinC）²+（2$\sqrt{3}$sinB）²-2（2$\sqrt{3}$sinC）•2$\sqrt{3}$sinB×$\frac{1}{2}$，
即3=12sin²C+3sin²B-6sinCsinB，①
9=12sin²C+12sin²B-12sinCsinB，
即3=4sin²C+4sin²B-4sinCsinB，②，
①-②得8sin²C-sin²B-2inCsinB=0，
即（2sinC-sinB）（4sinC+sinB）=0，
∵4sinC+sinB＞0，
∴2sinC-sinB=0，
即2sinC=sinB，
即2sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB，
即2（sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB）=sinB，
則$\sqrt{3}$cosB+sinB=sinB，
即$\sqrt{3}$cosB=0，
則cosB=0．
法2：∵由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{3}$，
∴三角形ABC外接圓的半徑R=$\sqrt{3}$，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴D是三角形ABC的外接圓的圓心，則AC是直徑，
則∠B是圓周角，即B=90°，則cosB=0．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，兩角和差的正弦公式、考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．