Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）
（1）t=2時，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若對于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當t=2時，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，

若x≤1，則f（x）=3﹣2x，于是由f（x）＞2，解得x＜ ，綜合得x＜ ；

若1＜x＜2，則f（x）=1，顯然f（x）＞2不成立；

若x≥2，則f（x）=2x﹣3，于是由f（x）＞2，解得x＞ ，綜合得x＞

∴不等式f（x）＞2的解集為{x|x＜ ，或x＞ }

（2）解：f（x）≥a+x等價于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，

當﹣1≤x≤1時，g（x）=1+t﹣3x，顯然g（x）min=g（1）=t﹣2，

當1＜x＜t時，g（x）=t﹣1﹣x，此時g（x）＞g（1）=t﹣2，

當t≤x≤3時，g（x）=x﹣t﹣1，g（x）min=g（1）=t﹣2，

∴當x∈[1，3]時，g（x）min=t﹣2，

又∵t∈[1，2]，

∴g（x）min≤﹣1，即a≤﹣1，

綜上，a的取值范圍是a≤﹣1

【解析】（1）通過討論x的范圍，去掉絕對值解關于x的不等式，求出不等式的解集即可；（2）問題等價于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．