Question

20．已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓E的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓E上任意一點到兩個焦點的距離之和為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若直線l：y=2x+m與橢圓E相交于M，N兩點，求△MON面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設設橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，焦距為2c，根據(jù)題意列方程組求出a，b即可；
（2）聯(lián)立方程組消元，令△＞0求出m的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關系和弦長公式得出MN，再計算原點到直線l的距離，得出三角形的面積關于m的函數(shù)，從而求得面積的最大值．

解答 解：（1）設橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，焦距為2c，
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{2a=2\sqrt{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$，消元得：9x²+8mx+2m²-2=0，
∵橢圓與直線交于M，N兩點，
∴△=64m²-36（2m²-2）=72-8m²＞0，
∴-3＜m＜3．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8m}{9}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{9}$，
∴MN=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{64{m}^{2}}{81}-\frac{8（{m}^{2}-1）}{9}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{9}$•$\sqrt{9-{m}^{2}}$，
又原點O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$•MN•d=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{10}}{9}$•$\sqrt{9-{m}^{2}}$×$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{9-{m}^{2}}}{9}•|m|$=$\frac{\sqrt{2}}{9}•$$\sqrt{9{m}^{2}-{m}^{4}}$，
令f（m）=9m²-m⁴=-（m²-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$，
∵-3＜m＜3，∴0≤m²＜9，
∴當m²=$\frac{9}{2}$時，f（m）取得最大值$\frac{81}{4}$，
∴S_△MON的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{9}×\sqrt{\frac{81}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，注意弦長公式，根與系數(shù)關系的應用，屬于中檔題．