Question

5．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且有PB=PD，PA⊥BD．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若∠DAB=∠PDB=60°，AD=2，PA=3，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點(diǎn)，由PB=PD，得PO⊥BD，再由已知PA⊥BD，利用線面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，進(jìn)一步得到平面PAC⊥平面ABCD；
（2）由（1）知，平面PAC⊥平面ABCD，可得BD⊥AC，則AB=AD，得到四邊形ABCD為菱形，然后求解三角形可得△POA的面積，再由等積法求得四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：如圖，
設(shè)AC∩BD=O，∵底面ABCD是平行四邊形，∴O為BD的中點(diǎn)，
又PB=PD，∴PO⊥BD，
又PA⊥BD，PA∩PO=P，
∴BD⊥平面PAC，
而BD?平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD；
（2）解：由（1）知，平面PAC⊥平面ABCD，
∴BD⊥AC，又O為BD的中點(diǎn)，
∴AB=AD，則四邊形ABCD為菱形，
∵∠BAD=60°，∴△BAD為正三角形，
又AD=2，∴AO=$\sqrt{3}$，OD=1，
在Rt△POD中，由∠PDO=60°，OD=1，可得PD=2，PO=$\sqrt{3}$，
在△POA中，∵AO=PO=$\sqrt{3}$，PA=3，可得PA邊上的高為$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${S}_{△PAO}=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
則${S}_{△PAC}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴${V}_{P-ABCD}=2{V}_{D-PAC}=2×\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}×1$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．