某分公司經(jīng)銷一種新中國成立60周年的紀念品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每賣出一件產(chǎn)品需向總公司上交m元(m為常數(shù),3≤m≤6)的管理費.設每件產(chǎn)品的日售價為x元(9≤x≤11),根據(jù)市場調查,日銷售量與ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例.已知每件成品的日售價為40元時,日銷售量為10件.
(1)求該分公司的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關系式; 
(2)當每件成品的日售價為多少元時,該分公司的日利潤L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
【答案】分析:(1)日銷售量與ex成反比例,利用每件成品的日售價為40元時,日銷售量為10件,求出比例系數(shù),再結合利潤=收入-支出問題可以得到解決.
(2)求解函數(shù)的最值,導數(shù)是十分重要的工具,利用分段函數(shù)的性質進行求解.
解答:解:(1)設日銷售量為,則=10,∴k=10e40.…(1分)
則日銷售量為.…(2分)
日售價為x元時,每件利潤為(x-3-m),
則日利潤L(x)=(x-3-m)
=10e40                                      …6
(2)L′(x)=10e40=10e40              …(8分)
①當3≤m≤5時,7≤4+m≤9,當9<x<11時,L′(x)<0
∴L(x)在(9,11)上是單調遞減函數(shù).
∵當x=9時,L(x)取的最大值為10(6-m)e31.…(11分)
②當5<m≤6時,9<4+m≤10,令L′(x)=0,得x=m+4.
x∈(9,m+4)時,L′(x)>0 L(x)在(9,m+4)上是單調遞增函數(shù).
x∈(m+4,11)時,L′(x)<0,L(x)在(m+4,11)上是單調遞減函數(shù).
∵L(x)在[9,11]上連續(xù),∴當x=m+4時,L(x)取的最大值為10e36-m.…(14分)
由①②知…(16分)
點評:本題考查函數(shù)的性質和應用,考查函數(shù)模型的構建,考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(1)求該商店的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關系式;
(2)當每件產(chǎn)品的日售價為多少元時,該商品的日利潤L(x)最大,并求出L(x)的最大值.

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(1)求該分公司的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關系式; 
(2)當每件成品的日售價為多少元時,該分公司的日利潤L(x)最大,并求出L(x)的最大值.

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(1)求分公司一年的利潤y(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關系式;

(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時,分公司一年的利潤y最大?并求出y的最大值Q(a).

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