Question

【題目】已知為圓上一動點(diǎn)，圓心關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）直線與點(diǎn)的軌跡只有一個公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）利用橢圓定義求出點(diǎn)的軌跡方程；（2）由直線與橢圓相切可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，利用均值不等式求最值，從而得到面積的取值范圍.

詳解：（1）因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，所以點(diǎn)在的垂直平分線上，所以，

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，

因?yàn)?/span>，所以，

所以點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）由得，，

因?yàn)橹本�與橢圓相切于點(diǎn)，

所以，即，

解得，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，

所以，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，

設(shè)直線的方程為，

則

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，

有最大值，

所以，

即面積的取值范圍為.