Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象在點(diǎn)（-1，2）處的切線恰好與x-3y=0垂直，又f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、m≤-3
• B、m≥0
• C、m＜-3或m＞0
• D、m≤-3或m≥0

Answer 1

分析：求出f′（x），根據(jù)切線與x-3y=0垂直得到切線的斜率為-3，得到f′（-1）=-3，把切點(diǎn)代入f（x）中得到f（-1）=2，兩者聯(lián)立求出a和b的值，確定出f（x）的解析式，然后求出f′（x）大于等于0時x的范圍為（-∞，-2]或[0，+∞）即為f（x）的增區(qū)間根據(jù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，得到關(guān)于m的不等式，即可求出m的取值范圍．

解答：解：f′（x）=3ax²+2bx，因?yàn)楹瘮?shù)過（-1，2），且切線與x-3y=0垂直得到切線的斜率為-3，
得到：

f(-1)=2 f′(-1)=-3

即

-a+b=2 3a-2b=-3

解得：

a=1 b=3

，則f（x）=x³+3x²
f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）≥0解得：x≥0或x≤-2，即x≥0或x≤-2時，f（x）為增函數(shù)；
所以[m，m+1]?（-∞，-2]或[m，m+1]?[0，+∞）即m+1≤-2或m≥0，
解得m≤-3或m≥0
故選D

點(diǎn)評：考查學(xué)生掌握兩條直線垂直時斜率的關(guān)系，會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．本題的突破點(diǎn)是確定函數(shù)的解析式．