Question

6．在△ABC中，AB=3，AC=5，cosA=$\frac{1}{15}$，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，且$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-4，則|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|的最大值是14．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出BC的值，再以BC所在的直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-4得出點(diǎn)P的軌跡，利用中點(diǎn)的定義化簡|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|，從而求出它的最大值．

解答 解：△ABC中，AB=3，AC=5，cosA=$\frac{1}{15}$，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA
=3²+5²-2×3×5×$\frac{1}{15}$
=32，
∴BC=4$\sqrt{2}$；
設(shè)B（-2$\sqrt{2}$，0），C（2$\sqrt{2}$，0），點(diǎn)P（x，y），
則$\overrightarrow{PB}$=（-2$\sqrt{2}$-x，-y），$\overrightarrow{PC}$=（2$\sqrt{2}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=x²-8+y²=-4，
∴x²+y²=4；
∴點(diǎn)P在圓x²+y²=4上；
取BC的中點(diǎn)D，則D（0，0），
∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PA}$|；
令A(yù)D的中點(diǎn)為M，
則|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PA}$|=4|$\overrightarrow{PM}$|，
∴|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|≤4×（$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AD}$|+2）=2|$\overrightarrow{AD}$|+8；
又${（2|\overrightarrow{AD}|）}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$=2×（3²+5²），
∴${（2|\overrightarrow{AD}|）}^{2}$=2×34-32=36，
解得2|$\overrightarrow{AD}$|=6，
∴|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|的最大值是14．
故答案為：14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理以及平面向量的數(shù)量積與點(diǎn)P的軌跡問題，是綜合性題目．