Question

16．已知函數(shù)f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$），下列說法：
（1）f（x）的定義域為（0，+∞）；
（2）f（x）的值域為[-1，+∞）；
（3）f（x）是奇函數(shù)；
（4）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
其中說法正確的是（1）（4）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，值域，奇偶性和單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答 解：由x與$\frac{1}{x}$同號可得：x+$\frac{1}{x}$＞0時，x＞0，
故f（x）的定義域為（0，+∞），故（1）正確；
當(dāng)x＞0時，x+$\frac{1}{x}$≥2，
故f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$）≤-1，
故f（x）的值域為（-∞，-1]，故（2）錯誤；
函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù)，故（3）錯誤；
當(dāng)x∈（0，1）時，t=x+$\frac{1}{x}$為減函數(shù)，f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$）為增函數(shù)，故（4）正確；
故答案為：（1）（4）

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的定義域，值域，奇偶性和單調(diào)性，難度中檔．