已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E、F、G分別是AB,BC,B1C1的中點,則下列說法正確的是 (寫出所有正確命題的編號).
①P在直線EF上運動時,GP始終與平面AA1C1C平行;
②點Q在直線BC1上運動時,三棱錐A-D1QC的體積不變;
③點M是平面A1B1C1D1上到點。亢停嚯x相等的點,則點M的軌跡是一條直線;
④以正方體ABCD-A1B1C1D1的任意兩個頂點為端點連一條線段,其中與棱AA1異面的有10條;
⑤點P是平面ABCD內(nèi)的動點,且點P到直線A1D1的距離與點P到點E的距離的平方差為3,則點P的軌跡為拋物線.
【答案】
分析:畫出正方體圖形,
①P在直線EF上運動時,可證面GEF∥平面AA
1C
1C,GP?面GEF,可得結(jié)論;
②Q在直線BC
1上運動時,三棱錐A-D
1QC的體積不變;三角形AD
1Q面積不變,C到平面距離不變,體積為定值;
③M是正方體的面A
1B
1C
1D
1內(nèi)到點D和 C
1距離相等的點,則M點的軌跡是一條線段,線段A
1D
1滿足題意;
④可列舉出所求與棱AA
1異面的直線,故可判斷;
⑤點P是平面ABCD內(nèi)的動點,且點P到直線A
1D
1的距離與點P到點E的距離的平方差為3,從而可得點P到直線AD的距離的平方=點P到直線A
1D
1的距離平方減去4.
解答:解:①P在直線EF上運動時,EF∥AC,GF∥C
1C,可知面GEF∥平面AA
1C
1C,GP?面GEF,所以①成立;
②Q在直線BC
1上運動時,三棱錐A-D
1QC的體積不變;如圖(2)三角形AD
1Q面積不變,C到平面距離不變,體積為定值,故②正確;
③M是正方體的面A
1B
1C
1D
1內(nèi)到點D和 C
1距離相等的點,則M點的軌跡是一條線段,線段A
1D
1滿足題意,故正確.
④以正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1的任意兩個頂點為端點連一條線段,其中與棱AA
1異面的有BC、BC
1、B
1C、B
1C
1、C
1D
1、B
1D
1、CD、CD
1、C
1D、BD
1、B
1D、BD共12條,故不正確;
⑤點P是平面ABCD內(nèi)的動點,且點P到直線A
1D
1的距離與點P到點E的距離的平方差為3,
則點P到點E的距離的平方,等于點P到直線A
1D
1的距離的平方減去3
點P到直線AD的距離的平方=點P到直線A
1D
1的距離平方減去4.
所以,點P到點E的距離的平方=點P到直線AD的距離的平方加上1,點P的軌跡是以E為焦點的拋物線的一部分,故正確.
故答案為:①②③⑤.
點評:本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,軌跡方程,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.