Question

9．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=4，AB=4$\sqrt{3}$，∠CDA=120°，點(diǎn)N在線段PB上，且PN=2．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求證：MN∥平面PDC；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BD⊥AC，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥PC．
（2）推導(dǎo)出DM⊥AC，AD=CD，DM=2，$\frac{BN}{PN}$=$\frac{BM}{MD}$，從而MN∥PD，由此能證明MN∥平面PDC．
（Ⅲ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵△ABC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC．
（2）在正△ABC中，BM=6，
在△ACD中，∵M(jìn)為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，∴AD=CD，
∠ADC=120°，∴DM=2，
∴$\frac{BM}{MD}$=$\frac{3}{1}$，
在Rt△PAB中，PA=4，AB=4$\sqrt{3}$，PB=8．
∴$\frac{BN}{PN}$=$\frac{BM}{MD}$=$\frac{3}{1}$，∴MN∥PD，
又MN?平面PDC，PD?平面平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
解：（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∴B（4$\sqrt{3}$，0，0），C（2$\sqrt{3}$，6，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
$\overrightarrow{PC}$=（2$\sqrt{3}$，6，-4），$\overrightarrow{PB}$=（4$\sqrt{3}$，0，-4），
由（2）知$\overrightarrow{DB}$=（4$\sqrt{3}$，-4，0）是平面PAC的法向量，
設(shè)平面PBC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+6y-4z=0}\\{4\sqrt{3}x-4z=0}\end{array}\right.$，取z=3，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，3$），
設(shè)二面角A-PC-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{8}{\sqrt{64}•\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角A-PC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考百線面平行的證明，考查二面角的余弦值，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．