Question

18．已知函數(shù)f（x）=x•|x|-2x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若方程f（x）=m有三個不同實根時，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，利用奇偶性的定義，可證得結(jié)論；
（2）畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-2x，x＜0\\{x}^{2}-2x，x≥0\end{array}\right.$的圖象，若方程f（x）=m有三個不同實根，則函數(shù)f（x）的圖象，與y=m有三個交點，數(shù)形結(jié)合可得答案．
（3）求導，求出不同區(qū)間上導數(shù)的符號，進而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，理由如下：
∵函數(shù)f（x）=x•|x|-2x
∴f（-x）=-x•|-x|+2x=-（x•|x|-2x）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-2x，x＜0\\{x}^{2}-2x，x≥0\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

若方程f（x）=m有三個不同實根，
則函數(shù)f（x）的圖象，與y=m有三個交點，
由圖可得：m∈（-1，1）
（3）∵f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x-2，x＜0\\ 2x-2，x≥0\end{array}\right.$，
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0；
當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，-1）和（1，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（-1，1）．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的圖象，函數(shù)的零點個數(shù)判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．