Question

6．已知f（x）=（x-2）e^x+ax²+x，a∈R．
（1）當(dāng)$a=-\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）≤-2總成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足條件的a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=（x-2）e^x-$\frac{1}{2}$x²+x，
f′（x）=（x-1）（e^x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）f′（x）=（x-1）e^x+2ax+1，f″（x）=xe^x+2a，
①a≤0時(shí)，f″（x）≤0，f′（x）在（-∞，0]遞減，
∴f′（x）≥f′（0）=0，f（x）在（-∞，0]遞增，
∴f（x）≤f（0）=-2，成立，
②（i）a＞0時(shí)，f′″（x）=（x+1）e^x，
∴f″（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，0]遞增，
∴f″（x）min=f″（-1）=-$\frac{1}{e}$+2a，
（ii）a≥$\frac{1}{2e}$時(shí)，f″（x）＞0，f′（x）在（-∞，0）遞增，
∴f′（x）＜f′（0）=0，f（x）在（-∞，0]遞減，
∴f（x）_min=f（0）=-2，f（x）≥-2，不合題意，
（iii）由（ii）得：
0＜a＜$\frac{1}{2e}$時(shí)，?x₁，x₂∈（-∞，0]，
使得f（x）在（-∞，x₁）遞增，在（x₁，x₂）遞減，在（x₂，0]遞增，
有f（x₁）＞-2，不合題意，
綜上，a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．