如圖是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為ABC.已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3.
(I)設點O是AB的中點,證明:OC∥平面A1B1C1;
(II)求此幾何體的體積;
(Ⅲ)點F為AA1上一點,若BF⊥平面COB1,求AF的長.
分析:(I)借助線面平行的判定定理證明OC∥平面A1B1C1.證明OC平行于平面A1B1C1內的一條直線即可;
(II)以同樣大的幾何體,進行補形,可得一直三棱柱,底面為△A1B1C1,高為6,從而可求求幾何體體積;
(Ⅲ)建立如圖所示的空間直角坐標系,用坐標表示點與向量,利用若BF⊥平面COB1,則BF⊥B1C,即可求得結論.
解答:(I)證明:作OD∥AA1交A1B1于D,連C1D,則OD∥BB1∥CC1
∵O是AB的中點,∴OD=
AA1+BB1
2
=3
=CC1
∴ODC1C是平行四邊形,∴OC∥C1D.
∵C1D?平面A1B1C1且OC?平面A1B1C1
∴OC∥面A1B1C1
(II)以同樣大的幾何體,進行補形,可得一直三棱柱,底面為△A1B1C1,高為6
∴所求幾何體體積為V=
1
2
×
1
2
×2×2×6=6

(Ⅲ)建立如圖所示的空間直角坐標系,則B1(0,0,0),B(0,0,2),C(0,2,3),
設F(2,0,m),則
B1C
=(0,2,3)
,
BF
=(2,0,m-2)

若BF⊥平面COB1,則BF⊥B1C,∴m=2
∴AF=2
點評:本題考查線面平行,考查幾何體的條件,考查線面垂直,掌握線面平行的判定,合理補形是關鍵.
練習冊系列答案
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(1)設點O是AB的中點,證明:OC∥平面A1B1C1;
(2)求二面角B-AC-A1的大。
(3)求此幾何體的體積.

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(Ⅰ)設點O是AB的中點,證明:OC∥平面A1B1C1;
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(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;

(Ⅱ)求出該幾何體的體積.

 

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