精英家教網(wǎng)如圖是一個(gè)直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3.
(1)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),證明:OC∥平面A1B1C1;
(2)求二面角B-AC-A1的大;
(3)求此幾何體的體積.
分析:(1)由題意及圖形,利用直三棱柱的特點(diǎn),因?yàn)镺為中點(diǎn)連接OD,由題意利用借助線面垂直的判定定理證明OC∥平面A1B1C1;
(2)由題意利用三垂線定理找到二面角的平面角,在三角形中進(jìn)行求解二面角的大;
(3)由題意及圖形利用體積分割的方法,把不規(guī)則的幾何體分割成兩個(gè)規(guī)則的幾何體,利用相應(yīng)的體積公式進(jìn)行求解.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:作OD∥AA1交A1B1于D,連C1D.
則OD∥BB1∥CC1
因?yàn)镺是AB的中點(diǎn),
所以O(shè)D=
1
2
(AA1+BB1)=3=CC1

則ODC1C是平行四邊形,因此有OC∥C1D.C1D?平面C1B1A1且OC?平面C1B1A1
則OC∥面A1B1C1
(2)如圖,過(guò)B作截面BA2C2∥面A1B1C1,分別交AA1,CC1于A2,C2
作BH⊥A2C2于H,連CH.
因?yàn)镃C1⊥面BA2C2,所以CC1⊥BH,則BH⊥平面A1C.
又因?yàn)锳B=
5
,BC=
2
,AC=
3
?AB2=BC2+AC2

所以BC⊥AC,根據(jù)三垂線定理知CH⊥AC,所以∠BCH就是所求二面角的平面角.
因?yàn)锽H=
2
2
,所以sin∠BCH=
BH
BC
=
1
2
,故∠BCH=30°,
即:所求二面角的大小為30°.
(3)因?yàn)锽H=
2
2
,所以VB-AA2C2C=
1
3
SAA2C2C•BH=
1
3
1
2
(1+2)•
2
2
2
=
1
2
VA1B1C1-A2BC2=SA1B1C1•BB1=
1
2
•2=1.
所求幾何體體積為V=VB-AA2C2C+VA1B1C1-A2BC2=
3
2
點(diǎn)評(píng):此題重點(diǎn)考查了線面平行的判定定理,還考查了利用圖形及三垂線定理求二面角的平面角的大;還考查了利用分割法求幾何體的體積.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),證明:OC∥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求二面角B-AC-A1的大小.

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(1)求證:EM∥平面ABC;

(2)試問(wèn)在棱DC上是否存在點(diǎn)N,使NM⊥平面? 若存在,確定

點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;

(Ⅱ)求出該幾何體的體積.

 

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