Question

2．已知a+2b=1且b＞1，則$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$的取值范圍（　　）

• A． （-∞，1-2$\sqrt{2}$]
• B． （-2，1-2$\sqrt{2}$]
• C． [1-2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$]
• D． [1+2$\sqrt{2}$，4]

Answer 1

分析 先求出a的范圍，再根據基本不等式求出a的最大值，再構造函數，利用導數，求出函數的最小值，問題得以解決

解答 解：a+2b=1且b＞1，
∵b=$\frac{1-a}{2}$＞1，
∴a＜-1
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$=$\frac{a+2b}{a}$+$\frac{a}$=1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$=1-（-$\frac{2b}{a}$-$\frac{a}$）≤1-2$\sqrt{-\frac{2b}{a}•（-\frac{a}）}$=1-2$\sqrt{2}$，當且僅當b=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=-1-$\sqrt{2}$時取等號，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{2a}{1-a}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{1-a}$-2，
設f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{1-x}$-2，x＜-1，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}（x-1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-2}{{x}^{2}（1-x）^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，
∴f（x）_min，＞f（-1）=-1+1-2=-2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$的取值范圍為（-2，1-2$\sqrt{2}$]，
故選：B

點評 本題考查了導數的綜合應用以及基本不等式的應用，同時考查了轉化思想的應用及整體思想的應用，屬于中檔題．