Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1），定點A的坐標(biāo)為（1，2），點M滿足$\overrightarrow{OM}$-2$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$，曲線C={N|$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ，0≤θ≤2π}，區(qū)域U={P|r≤|$\overrightarrow{MP}$|≤R，0＜r＜R}，曲線C與區(qū)域U的交集為兩段分離的曲線，則（　�。�

• A． 3$\sqrt{2}$-1＜r＜R＜3$\sqrt{2}$+1
• B． 2$\sqrt{3}$-1＜r＜2$\sqrt{3}$+1≤R
• C． r≤2$\sqrt{3}$-1＜R＜2$\sqrt{3}$+1
• D． r＜2$\sqrt{3}$-1＜R＜2$\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出N的軌跡為以A（1，2）為圓心，以1為半徑的圓，
區(qū)域U為圓環(huán)，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合即可求得r的取值范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1），點A的坐標(biāo)為（1，2），
點M滿足$\overrightarrow{OM}$-2$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$=（4，5），∴M（4，5）；
∴$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ=（cosθ，0）+（0，sinθ）
=（cosθ，sinθ），
設(shè)N（x，y），則$\overrightarrow{AN}$=（x-1，y-2）=（cosθ，sinθ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-2=sinθ}\end{array}\right.$，
即（x-1）²+（y-2）²=1．
∴曲線C={N|$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ，0≤θ≤2π}表示以A（1，2）為圓心，以1為半徑的圓．
又M（4，5），如圖，|MB|=|MA|-1=$\sqrt{{（4-1）}^{2}{+（5-2）}^{2}}$-1=3$\sqrt{2}$-1，
|MC|=|MA|+1=3$\sqrt{2}$+1．
要使區(qū)域U={P|r≤|$\overrightarrow{MP}$|≤R，0＜r＜R}，
且曲線C與區(qū)域U的交集為兩段分離的曲線，
則3$\sqrt{2}$-1＜r＜R＜3$\sqrt{2}$+1．
故選：A．

點評 本題考查了曲線與方程，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．